Stefan-Liebscher.DE Meine kleine «Ich-AG»

Projektive Geometrie

Geometrie

La géométrie est une espèce de hochet que la nature nous a jeté pour nous consoler et nous amuser dans les ténèbres.

Die Geometrie ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

(Jean-Baptiste le Rond d'Alembert an Friedrich II., 1764)

JavaScript-Programm zur interaktiven Visualisierung der reellen projektiven Ebene

Dieses Programm begann als kleine JavaScript-Übung, als erster Schritt im Anschluss an das berüchtigte «Hello World»... Inzwischen gewachsen, stellt es die (reelle) projektive Ebene dar und erlaubt dazu elementare Konstruktionen von Punkten, Geraden und Kegelschnitten. Die Auszeichnung eines absoluten Kegelschnittes, d.h. der unendlich fernen Punkte, definiert eine Metrik und bettet so die Cayley-Klein-Geometrien in die projektive Ebene ein. Dies erlaubt dann auch die Definition von Mittelpunkten, Winkelhalbierenden, Loten, Spiegelungen, Kreisen, u.v.m.

Die zur Darstellung verwendete Projektion kann dabei durch Maus- bzw. Berührungsgesten frei verändert werden:

Mausbewegung mit gedrückter linker Maustaste
Verschiebung der Dasrstellung
Mausbewegung mit gedrückter mittlerer Maustaste
Rotation der Darstellung
Mausbewegung mit gedrückter rechter Mustaste
Kippen der Darstellung
Mausrad
Skalierung der Darstellung
Bewegung zweier Berührungspunkte
Verschiebung, Rotation und Skalierung der Darstellung
Bewegung dreier Berührungspunkte
Kippen der Darstellung

Noch mehr projektive Geometrie mit einem anderen Java-Applet findet sich bei meinem Vater.

Animationen

Kegelschnitte
Werden Kegelschnitte sowohl mit ihren Punkten als auch mit ihren Tangentenscharen identifiziert, können die singulären Kegelschnitte adäquat entfaltet werden.
Büschel von Kegelschnitten und duale Büschel von Kegelschnitten
Die relative Lage von Paaren (oder Büscheln) von Kegelschnitten kann anhand ihrer Diagonaldreiecke klassifiziert werden. Diese Animation durchläuft alle möglichen Fälle.
Rundkurs durch die Geometrien
Am Beispiel der gemeinsamen Tangenten und Brennpunkte zweier Kegelschnitte (und der dadurch erzeugten Familie) durchläuft diese Animation alle Cayley-Klein-Geometrien.

Projektive Beispielkonstruktionen (ohne Metrik)

Das vollständige Viereck
Das vollständige Viereck (genauso wie sein duales Gegenstück, das vollständige Vierseit) stellt das fundamentale Objekt der projektiven Ebene dar und vermittelt harmonische Teilungen.
Kegelschnitte und nochmal Kegelschnitte
Durch 5 Punkte (oder 5 Tangenten) wird ein Kegelschnitt bestimmt. Eine Tangente und 4 Punkte definieren 2 Kegelschnitte, zwei Tangenten und 3 Punkte definieren 4 Kegelschitte. Zwei Kegelschnitte schneiden sich in 4 Punkten.
Büschel von Kegelschnitten, duales Büschel von Kegelschnitten, Büschel von Kreisen und Büschel von Horozyklen
Die Kegelschnitte, die durch 4 gegebene Punkte gehen, definieren eine lineare Familie, ein Büschel von Kegelschnitten. Die Familie zu 4 gegebenen Tangenten ist dual dazu. Zu (gegenseitigen) Kreisen werden die Kegelschnitte, wenn sie sich in zwei Punkten berühren, d.h. wenn je zwei der Schnittpunkte bzw. Tangenten zusammenfallen. Horozyklen sind zu guter Letzt Kreise, deren Berührpunkte zusammenfallen.
Theoreme von Desargues, Pappus, Pascal, Brianchon und den drei Kegelschnitten
In der projektiven Ebene finden sich immer wieder kollineare Punkte sowie Geraden mit gemeinsamen Schnittpunkten.
Die Brennpunkte zweier Kegelschnitte als Ecken des vollständigen Vierseits ihrer gemeinsamen Tangenten
Zwei Kegelschnitte haben 4 Schnittpunkte und 4 gemeinsame Tangenten. Diese erzeugen ein vollständiges Viereck und ein vollständiges Vierseit. Die sechs Brennpunkte entstehen als die 3 Paare gegenüberliegender Ecken des Tangenten-Vierseits. Die Diagonalpunkte des Schnittpunkts-Vierecks und die Diagonallinien des Tangenten-Vierseits bilden dasselbe Dreieck, das außerdem zu beiden Kegelschnitten selbst-polar ist.

Metrische Beispielkonstruktionen (abhängig vom absoluten Kegelschnitt)

Umkreise sowie In- und Ankreise eines Dreiecks
Ein Dreieck hat im Allgemeinen vier Umkreise (durch die Eckpunkte) und vier In- und Ankreise (tangential an die Seiten). Einige dieser können entarten oder komplex werden. Auf der euklidischen Ebene entarten z.B. drei der Umkreise zu Paaren paralleler Geraden.
Kreise zu gegebenen zwei Punkten und einer Tangente bzw. zwei Tangenten und einem Punkt
Zwei Punkte und eine Tangente oder zwei Tangenten und ein Punkt bestimmen jeweils 4 Kreise, von denen wieder einige entarten oder komplex werden können.
Der 9-Punkte-Kegelschnitt
In den flachen Geometrien (euklidische, Minkowski- und Galilei-Ebene) liegen die sechs Seitenmitten und drei Diagonalpunkte eines jeden vollständigen Vierecks auf einem gemeinsamen Kegelschnitt.
Der Feuerbach-Kreis
In den flachen Geometrien (euklidische, Minkowski- und Galilei-Ebene) wird der 9-Punkte-Kegelschnitt des um seinen Höhenschnittpunkt vervollständigten Dreiecks zum Kreis. Dieser berührt außerdem alle 16 In- und Ankreise der entstehenden Dreiecke.
Die Gärtner-Konstruktion der Ellipse
Die Gärtner-Konstruktion der (ebenen) Ellipse nutzt die Konstanz der Summe der Abstände zu ihrem Brennpunktpaar. Dies ist in der Tat eine allgemeine Eigenschaft von Kegelschnitten, bzw. des Paares aus Kegelschnitt und absolutem Kegelschnitt:
  • Der Pol einer jeden Sehne durch einen Brennpunkt steht im Brennpunkt immer senkrecht über der Sehne.
  • Jede Sehne durch einen Brennpunkt wird in der Tangente im Schnitt der Sehne mit dem Kegelschnitt auf eine Sehne durch den gegenüberliegenden Brennpunkt gespiegelt.
  • Der Brennpunkt selbst wird in den Tangenten an den Kegelschnitt in einen Kreis um den gegenüberliegenden Brennspunkt gespiegelt.
Aus den beiden letztgenannten Eigenschaften folgt, dass die Summe (oder Differenz!) der Abstände zu dem Brennpunktpaar konstant bleibt.
Drei Ellipsen, die sich drei Brennpunkte teilen
Startet man mit drei Ellipsen der euklidischen Ebene, in deren Brennpunkten jeweils zwei Ecken eines gegebenen Dreiecks liegen, so schneiden sich die (drei) gemeinsamen Sekanten in einem Punkt. Tatsächlich ist dies nur die halbe Wahrheit: Je zwei Kegelschnitte haben vier Schnittpunkte, die komplex werden können; Sekanten durch konjugiert komplexe Schnittpunkte bleiben aber reell. Tatsächlich bilden die drei (geeignet gewählten) gemeinsamen Sekantenpaare dreier beliebiger Kegelschnitte, die sich bezüglich eines beliebigen absoluten Kegelschnitts wie oben drei Brennpunkte teilen, ein vollständiges Viereck. Wir finden also 4 Punkte, durch die je drei gemeinsame Sekanten verlaufen, und diese Tatsache ist weder auf Ellipsen noch auf die euklidische Ebene beschränkt.